ベクトル積・転置・単位行列・逆行列の公式を理解する

ベクトル積の公式

横ベクトルと縦ベクトルの積はスカラーになります。

$$\boldsymbol{x}^T \boldsymbol{y}=スカラー$$

行列とベクトルの積は縦ベクトルになります。

$$\boldsymbol{X} \boldsymbol{y}=ベクトル$$

横ベクトルと行列と縦ベクトルの積はスカラーになります。

$$\boldsymbol{x}^T \boldsymbol{A} \boldsymbol{y}=スカラー$$

転置の公式

$$X=\begin{bmatrix}1&2\\3&4\\5&6\end{bmatrix} \quad X^T=\begin{bmatrix}1&3&5\\2&4&6\end{bmatrix}$$

$$(A^T)^T=A$$

$$(AB)^T=B^TA^T$$

$$(ABC)^T=C^TB^TA^T$$

単位行列の公式

対角成分がすべて1、残りの成分がすべて0である行列を単位行列といいます。

$$I=\begin{bmatrix}
1&0&\ldots&0\\
0&1&\ldots&0\\
\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\
0&\ldots&\ldots&1
\end{bmatrix}$$

単位行列はスカラーの1に対応します。

$$AI=A$$

$$IA=A$$

逆行列の公式

逆行列はスカラーの逆数に対応します。

$$AA^{-1}=I$$

$$A^{-1}A=I$$