ベクトルによる微分の公式を理解する

ベクトルによる微分の定義

ベクトルによる微分は、ベクトルのそれぞれの成分で微分します。

$$a^T=\begin{bmatrix}a_1&\ldots&a_n\end{bmatrix} \quad
x=\begin{bmatrix}x_1\\\vdots\\x_n\end{bmatrix}$$

$$\frac{d}{dx}(a^Tx)= \frac{d}{dx}\begin{bmatrix}a_1x_1+\ldots+a_nx_n\end{bmatrix}$$

$$=\begin{bmatrix}
\frac{d}{dx_1}\begin{bmatrix}a_1x_1+\ldots+a_nx_n\end{bmatrix} \\
\ldots \\
\frac{d}{dx_n}\begin{bmatrix}a_1x_1+\ldots+a_nx_n\end{bmatrix} \\
\end{bmatrix}$$

$$=\begin{bmatrix}a_1\\\vdots\\a_n\end{bmatrix}=a$$

ベクトルで微分の公式

$$\frac{d}{dx}(a^Tx)=a$$

$$\frac{d}{dx}(x^TAx)=(A+A^T)x$$

$$\frac{d}{dx}(c)=0$$